Stockholmsinitiativets blogg
Random header image... Refresh for more!

Det logaritmiska sambandet

De som följt klimatfrågan en längre tid har alla hört talas om ”det logaritmiska sambandet”. Exempelvis brukar klimatkänsligheten anges som den temperaturökning som följer av en fördubbling av koldioxidhalten. Däremot kanske inte alla vet vad detta logaritmiska samband beror på.

Förklaringen är i själva verket oerhört enkel. Vad det handlar om är att den höjd där antalet koldioxidmolekyler per volymsenhet blivit tillräckligt låg höjs när koldioxidhalten ökar. Eftersom temperaturen avtar med höjden så försöker koldioxidmolekylerna på den nya höjden att stråla lika mycket som de tidigare gjorde på en något lägre höjd – men eftersom det inte är tillräckligt varmt så klarar de inte det. Detta leder till en uppvärmning som måste gälla hela luftmassan.

Det som ger det logaritmiska sambandet är att lufttrycket, och därmed också mängden koldioxid, avtar exponentiellt, medan temperaturen avtar linjärt.

För att beskriva sambandet så ska jag ge ett räkneexempel, med enkla siffror, men med värden som inte ligger alltför långt ifrån de korrekta. Även om de siffror jag väljer ligger någorlunda nära de korrekta så vill jag inte påstå att de svar som jag räknar ut är riktiga – det enda syftet med denna lilla räkneövning är just att påvisa hur ett exponentiellt avtagande av lufttrycket och ett linjärt avtagande av temperaturen ger ett logaritmiskt samband mellan koldioxidhalt och uppvärmning. Jag vill också påpeka att jag räknar inte med några återkopplingar – varken positiva (som skulle förstärka effekterna) eller negativa (som skulle motverka dem).

Ett exponentiellt avtagande betyder exempelvis att om lufttrycket på 1 kms höjd minskat till 10/11 av lufttrycket vid markytan så minskar det till (10/11)2 på 2 kms höjd och till (10/11)5 på 5 kms höjd. (Detta är ganska nära det verkliga värdet som dock är att lufttrycket avtar med ungefär 13 % per km.)

Låt oss nu anta att koldioxidhalten är 400 ppm och att emissionshöjden för denna koldioxidhalt är 5 km. Om nu koldioxidhalten ökar till 440 ppm, d.v.s. med 10 % eller till 11/10 av det föregående, så måste vi upp ytterligare en km för att få ner koldioxidtätheten till den föregående nivån. För varje ökning med ytterligare 10 % så måste vi upp ytterligare en km. (Detta beror helt enkelt på att

400 x(10/11)5 = 440x(10/11)6. )

Det finns alltså ett exponentiellt samband mellan emissionshöjd och koldioxidhalt, vilket omvänt innebär att det finns ett logaritmiskt samband mellan koldioxidhalt och emissionshöjd.

Sambandet mellan höjd och temperatur är däremot linjärt så att för varje km högre höjd så minskar temperaturen med 6.5 grader. (Detta kallas den fuktiga adiabatiska avkylningen.)

Det innebär att temperaturen på 6 kms höjd måste öka 6,5 grader för att stråla ut like mycket, och denna temperaturökning följer med hela vägen ner.

Och därmed hoppas jag att alla reagerar – så mycket kan det väl inte handla om? Naturligtvis inte – koldioxiden är ju inte den enda växthusgasen och inte heller den viktigaste, utan det är vattenångan som står för det mesta av både infångad och framför allt utstrålad värme. OM koldioxiden varit ensam så skulle en fördubbling av koldioxidhalten ha inneburit en uppvärmning med över 30 grader, vilket närmast skulle tyda på att koldioxidens effekt bara är en 30-del av vattenångans – något som Lennart Bengtsson inte håller med om.

 

27 comments

1 Thomas { 29.05.12 at 08:44 }

”OM koldioxiden varit ensam så skulle en fördubbling av koldioxidhalten ha inneburit en uppvärmning med över 30 grader”
 
Bara om sambandet mellan CO2-halt och växthuseffekt vore linjärt, vilket du just visat att det inte är.
 
För vattenånga blir en beräkning motsvarande din långt mer komplex eftersom koncentrationen sjunker med temperaturen så att det i den högre troposfären finns mycket mindre vattenånga än CO2.

2 Sten Kaijser { 29.05.12 at 09:46 }

Hej Thomas,
tack för uppmärksamheten. Jag kommer nog att behöva förklara mig flera gånger idag. Så, varifrån kommer ”30 grader”? Svaret är att med exponentiellt avtagande och det ”mer korrekta värdet” att lufttrycket på 1 kms höjd är 0,87 gånger lufttrycket vid marken så blir lufttrycket på 5 kms höjd ungefär hälften av det ursprungliga. Det innebär att om halten fördubblas så måste höjden öka med 5 km. Då blir ju minskningen i temperatur 5 gånger 6 ,5. Det är det logaritmiska sambandet som ligger bakom. (Temperaturen beror linjärt på höjden men inte på koldioxidhalten)

3 C-G. Ribbing { 29.05.12 at 11:00 }

Den stora förtjänsten med din beskrivning, Sten, tycker jag är att du undvikit att tala om ”återstrålning” utan konsekvent beskriver strålningskylningen av jorden, som en effekt av på vilken höjd CO2 måste stråla ut, för att den skall kunna ske direkt mot världsrymden. Mycket bättre pedagogik än IPCCs.
Det är IPCC’s tal om ”återstrålning” som fått Claes Johnson och övriga författare till ”Sky Dragon” att helt förneka att växthuseffekten via CO2 påverkar jordens temperatur. En helt onödig motsättning, som endast ger AGWrna en tacksam måltavla.
Däremot måste jag vara lite förargligt petig och fråga om inte ”logaritmiska” på 4:e raden i 4:e stycket skall vara ”exponentiella”? Det står helt riktigt i 3:e stycket att lufttrycket avtar exponentiellt.
Hälsningar
C-G

4 Sten Kaijser { 29.05.12 at 11:43 }

Tack – visst skulle det ha v arit exponentiellt

5 Per-Olof Persson { 29.05.12 at 12:12 }

Jag förstår inte varför enbart växthusgaser återstrålar värmeenergi till jordytan. Om syre- och kvävemolekyler tar upp värmeenergi genom direktkontakt med jordytan, så borde dessa också kunna återstråla till jordytan.

6 Peter Stilbs { 29.05.12 at 12:17 }

AGW:arna har kluvna tungor om det logaritmiska sambandet  a) förtiger det för allmänhet och politiker när det gäller CO2 b) blåser upp det när det gäller metan etc.

Men banden överlappar ju, även med vatteånga,, och då faller ju mycket av de ”enkla” sambanden. Dessutom har vi strålning från moln (is, vatten) och från sot och andra aerosoler. Och vanlig termisk konvektion etc som värmetransport.

7 Thomas { 29.05.12 at 13:23 }

Sten #2 OK, jag förstår hur du tänker, men din modell är väl enkel för att kunna göra sådana kvantitativa uppskattningar även om den kvalitativt ger en vettig bild. Jag trodde att dina 30 grader relaterades till den naturliga växthuseffekten.
 
Per-Olof #5 Syre- och kvävemolekyler har inga absorptionsband inom IR så de kan vare sig absorbera eller stråla ut IR från jorden.

8 Göran { 29.05.12 at 13:51 }

Är du inte ute och cyklar nu Sten? Vad det handlar om är Lambert-Beers lag. Har inget att göra med lufttrycket.
 
Vänligen,
 
Göran

9 Sten Kaijser { 29.05.12 at 16:14 }

Hej Göran,

jag har tittat på Lambert-Beers lag och efter det tror jag att jag har rätt

anledningen är det som många talar om, nämligen mättnad. Atmosfären innehåller så mycket koldioxid så att den i stort sett är ogenomtränglig för ljus i koldioxidens spektrum.

Det innebär att i dessa våglängder tränger (praktiskt taget) ingen strålning ifrån marken ut i rymden. Det som däremot händer är att det finns exciterade
koldioxid-molekyler som kommit i vibration antingen genom att ta upp en foton, eller helt enkelt genom en krock. När de avger energin som strålning så
finns det, om det sker ifrån tillräcklig höjd, en liten chans att den når ut. Det är denna ”tillräckliga höjd” som ökar när koldioxidhalten ökar.
Ett viktigt faktum är att det mesta av energin på dessa höjder kommer ifrån kondensation av vattenånga – det som ibland kallas ”latent värme”.

10 Håkan Sjögren { 29.05.12 at 17:32 }

Sten Kaijser # 2 : En vibrerande molekyl koldioxid, som har tagit upp värmestrålning från marken sänder genast ut ett kvantum strålningsenergi, som motsvarar den upptagna värmeenergin oberoende av omgivningens temperatur lika väl som en exploderande luftvärnsgranat är oberoende av omgivningens temperatur.
Mvh, Håkan. 

11 Peter Stilbs { 29.05.12 at 20:10 }

Håkan #9 I genomsnitt ”glöder” en molekyl enligt Stefan-Boltzmanns lag (viktat med sitt spektrum). Dvs endast dess temperaturomgivning kommer in under normala omständigheter. Den kan lika väl exciteras via molekylkollisioner som via elektromagnetisk strålning. Samma gäller de-excitering. Relativa sannolikheter för de två alternativen är tryckberoende.

12 Sten Kaijser { 29.05.12 at 20:43 }

Hej Göran,

nu har jag tittat på Lambert-Beers lag och efter det tror jag ändå att jag har rätt

anledningen är det som många talar om, nämligen mättnad. Atmosfären innehåller så mycket koldioxid så att den i stort sett är ogenomtränglig för ljus i koldioxidens spektrum.

Det innebär att i dessa våglängder tränger (praktiskt taget) ingen strålning ifrån marken ut i rymden. Det som däremot händer är att det finns exciterade
koldioxid-molekyler som kommit i vibration antingen genom att ta upp en foton, eller helt enkelt genom en krock. När de avger energin som strålning så
finns det, om det sker ifrån tillräcklig höjd, en liten chans att den når ut. Det är denna ”tillräckliga höjd” som ökar när koldioxidhalten ökar.

13 Karl-Oskar { 29.05.12 at 22:09 }

Lennart Bengtsson skrev detta 26/5
Jag kan inte tolka det på annat sätt än att utan vattenånga är koldioxiden verkningslös.

Effekten av både vattenånga och koldioxid är proportionell mot den naturliga logaritmen av koncentrationen. En ökning från 150 ppmv till 300 ppmv är lika stor som från 400 till 800. Oberoende av koncentrationen måste vid jämvikt E =S . Ju högre koncentrationen är så sker återstrålningen mot rymden dvs E från allt högre höjd ( varierar med våglängden). Detta ger en högre temperatur vid jordytan som en följd av det adiabatiska temperaturprofilen (lapse rate) Den geografiska variationen av både E och S är högst variabel. Intressant nog har både Sahara och den Arabiska öknen en negativ strålningsbalans dvs mer strålning går ut än som kommer in ( E>S) varför värme måste transporteras dit  av atmosfärcirkulationen.

14 Thomas { 29.05.12 at 22:44 }

Sten #12 Båda effekterna finns där tillsammans med en hel del annat typ att bredden hos absorptionslinjerna för CO2 smalnar av med höjden pga det lägre trycket.  Jag tror dock att du har rätt om vilken effekt som dominerar. Blir atmosfären för ogenomskinlig för IR som den är på låg höjd så tar konvektion över för att transportera upp värme från jordytan.
 
Höjningen av tropopausen är också observerad:
http://www.spacedaily.com/news/earth-03a.html
 
Karl-Oskar #13 kan du motivera den tolkningen?

15 tty { 29.05.12 at 22:53 }

Thomas #7

”Per-Olof #5 Syre- och kvävemolekyler har inga absorptionsband inom IR så de kan vare sig absorbera eller stråla ut IR från jorden.”

Du har klart för dig att vad du säger är likvärdigt med att om man fyller en gastub med syre eller kväve, och sedan hettar upp den så kommer trycket i den inte att öka? 
Syre och kväve har förvisso inga absorptionsband i IR-området, men det hindrar dem ingalunda att ta upp energi genom konduktion och konvektion, vilket var vad Per Olof Persson frågade i #5.

Och ja, ALL materia, även kväve och syre, avger fotoner när dess temperatur ligger över absoluta nollpunkten. Det kallas svartkroppsstrålning eller kontinuumstrålning. Så visst strålar de ut IR.

16 Karl-Oskar { 29.05.12 at 22:56 }

Thomas # 14
” Det beror på den mycket torra luften och ett högt markalbedo. ”
Jag klippte av för tidigt nu kanske du förstår hur jag tänker. Om hela jorden bestod av öken skulle inte koldioxiden kunna hindra värmeutstrålningen.

17 Thomas { 29.05.12 at 23:06 }

Karl-Oskar #16 koldioxid hindrar värmeutstrålning även i öknen även om det inte är lika effektivt som om man dessutom har mer vattenånga.

18 Karl-Oskar { 29.05.12 at 23:15 }

Thomas # 17 Lennart skriver ju att mer strålning går ut än vad som kommer in där det är öken borde det inte bli kallare då?

19 Thomas { 29.05.12 at 23:19 }

Karl-Oskar #18 anledningen till att det kan stråla ut mer värme än vad som kommer in är som Lennart skriver att ”värme måste transporteras dit  av atmosfärcirkulationen.”

20 Stickan no1 { 29.05.12 at 23:38 }

Visst är det tankeväckande att klara områden som heta öknar värms av atmosfärcirkulationen. Inte av CO2. 
 

21 Karl-Oskar { 29.05.12 at 23:41 }

Thomas # 19 Om hela jorden skulle bestå av öken så kan ju inte värmen transporteras in från andra platser. 

22 Thomas { 30.05.12 at 00:05 }

Karl-Oskar #21 kan du förklara vad du egentligen försöker säga?
 
tty #15 Vad Per Olof hävdade var ”så borde dessa också kunna återstråla till jordytan”, vilket de inte kan eftersom de inte har några absorptionsband i relevanta frekvenser!
 
”Och ja, ALL materia, även kväve och syre, avger fotoner när dess temperatur ligger över absoluta nollpunkten. Det kallas svartkroppsstrålning eller kontinuumstrålning.”
 
Svartkroppsstrålning får du som namnet antyder av en kropp som är svart. Är kroppen inte svart får du lägga till en emissionskoefficient, och är denna som i fallet med kväve och syre noll så får du ingen utstrålning. Kontinuumstrålning är inte speciellt relevant i sammanhanget.
 
Du kanske är bekant med en termos? För att minimera värmeförlusterna i en sådan pumpar man inte bara ut luften mellan inner- och ytterflaskan, man ser också till att göra dessa reflekterande vilket också gör att de inte sänder ut värmestrålning.

23 Thomas { 30.05.12 at 00:06 }

Stickan #20 Rymden håller 2,7K. Tänk på det när du talar om hur öknar inte värms av CO2!

24 Pehr Björnbom { 30.05.12 at 13:20 }

…det enda syftet med denna lilla räkneövning är just att påvisa hur ett exponentiellt avtagande av lufttrycket och ett linjärt avtagande av temperaturen ger ett logaritmiskt samband mellan koldioxidhalt och uppvärmning.
 
Sten, det du skriver här stämmer mycket bra med hur David G. Andrews behandlar det logaritmiska sambandet i avsnitt 8.5 i sin bok An Introduction to Atmospheric Physics (finns även här). Kombinationen mellan ett exponentiellt avtagande lufttryck och en linjärt avtagande temperatur i höjdled är viktiga utgångspunkter i Andrews analys.
 

25 Håkan Sjögren { 30.05.12 at 15:52 }

Peter Stilbs # 11 : för att en koldioxidmolekyl skall kunna ta upp exitationsenergi genom stötar med omgivande molekyler i någon större omfattning krävs att sagda molekyler har en temperatur runt 1000 grader vilket är ovanligt i den tätare delen av atmosfären. Mvh, Håkan.

26 Peter Stilbs { 30.05.12 at 16:06 }

Håkan #25 – molekylen är i genomsnitt exciterad enligt Boltzmannfördelningen – vilket enligt vad jag minns – i fallet CO2 blir ungefär en excitationsgrad i första tillståndet över grundtillståndet på ca 2% bara av termiska orsaker, alltså utan nödvändigtvis strålning inblandad vid excitationen.

Hur lång livslängd varje exciterad molekyl har beror på andra faktorer, men är ca 10**-8 sekunder skulle jag gissa.

Just nu har jag uselt med tid och kan inte kommentera ytterligarre, men räkna gärna själv på Boltzmannfördelningen.

27 ALI.K. { 01.06.12 at 01:14 }

Mycket kalla svängningar som råder nu,långt under normala är
ingen  ovanlighet i Maj ,Jetströmars förändringar varar ofta i veckor.
ALI.K.